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\newtheorem{thm}{정리}
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\newtheorem{cl}{Claim}

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\newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}}
\newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}}

\begin{document}
 \parindent=0cm
\section*{Homotopy invariance(general version)}
\begin{thm}
If $f \simeq g : X\rightarrow Y$, then the following diagram

$\hspace{11em}\,\,\,f_{\sharp}$

$ \hspace{7em}\pi_1(X,x_0)\rightarrow \pi_1(Y,f(x_0))$

$\hspace{9em}g_{\sharp}\searrow \hspace{3em}\downarrow \phi_{\rho}
\hspace{4em}commutes$,

$\hspace{13em}\pi_1(Y,g(x_0))$

where  $\rho(t):=F(x_0,t)$ and F is a homotopy between
 f and g.
\end{thm}
\begin{figure}[htb]

\centerline{\includegraphics*[scale=0.4,clip=true]{homo4.eps}}

\end{figure}

\begin{proof}
$\phi_{\rho}\circ f_{\sharp} = g_{\sharp}$ 임을 보이자.\\ 즉,
$\rho^{-1}*(f \circ \alpha)*\rho\,\, \sim\,\, g \circ \alpha $ 를
주는 homotopy 를 찾으면 된다.\\

\begin{figure}[htb]

\centerline{\includegraphics*[scale=0.4,clip=true]{homo5.eps}}

\end{figure}


왼쪽 그림에서 원하는 boundary condition 을 만족하는 homotopy G 만
찾으면 되므로 먼저 그림 1의 boundary를 그림 2의 boundary에 맞게
shrink시키는 boundary사이의 map을 $I \times I$로 extend시키면
된다. 즉 원하는 homotopy 의
 존재성은 일반적으로 map $\phi:\partial D^2 \rightarrow \partial D^2$ 를
 $\overline{\phi}: D^2\rightarrow D^2$로 extend시킬 수 있다는 사실로부터
증명된다. (예를 들어 radial extension이 있다.) 따라서

\newpage

$\hspace{3em}\alpha \times id\hspace{5em}F$

$I \times I\,\,\,\,\,\,\,\, \rightarrow\,\,\,\,\,\,\,\, X \times I
\,\,\,\,\,\,\,\,\rightarrow Y$ 에  대해  $F\circ(\alpha \times
id)\circ \overline{\phi}$  가  원하는 homotopy를 준다.


\end{proof}
\begin{thm}\textit{
X,Y are path connected. X$\simeq$Y $\Rightarrow \pi_1(X) \cong
\pi_1(Y)$.\\ More precisely, $\,\,$  if $\,\,$  f : $X\rightarrow
Y $ is a homotopy equivalence, then \\
$f_{\sharp}:\pi_1(X,x_0)\rightarrow \pi_1(Y,f(x_0))$ is an
isomorphism.}\\
\end{thm}
\begin{proof}
Let $g$ be a homotopy inverse of $f$ : X $\rightarrow $ Y $,\,$
i.e., $g
\circ f \simeq id_{X} $\,\,$ and $\,\,$ f \circ g \simeq id_{Y}$.\\

\begin{figure}[htb]

\centerline{\includegraphics*[scale=0.4,clip=true]{homo6.eps}}

\end{figure}


$id_X \simeq g \circ f$ 사이의 homotopy 동안의 $x_0$의 path를
$\rho$ 라 두자.

그러면 앞의 정리에 의해 다음 diagram,

$\hspace{11em}\,\,\,(g \circ f)_{\sharp}$

$ \hspace{7em}\pi_1(X,x_0)\hspace{1em}\rightarrow
\hspace{1em}\pi_1(X,(g \circ f)(x_0))$

$\hspace{9em}id_{\sharp}\searrow \hspace{4em}\uparrow \phi_{\rho}
 $\\

$\hspace{14em}\pi_1(X,x_0)$\\


이 commute하므로 $\phi_{\rho} \circ id_{\sharp}=(g\circ
f)_{\sharp} : \pi_1(X,x_0)\rightarrow \pi_1(X,(g \circ f)(x_0))$.
따라서 $\phi_{\rho}=g_{\sharp}\circ f_{\sharp}$ 이고
$\phi_{\rho}$는 isomorphism 즉 onto 이므로
$g_{\sharp}:\pi_1(Y,f(x_0)) \rightarrow \pi_1(X, (g \circ
f)(x_0))$ 역시 onto 이다. (여기서 $f_{\sharp}:\pi_1(X, x_0)
\rightarrow \pi_1(Y, f(x_0)).$)

이번에는 $g \circ f$ 대신에 $f \circ g$ 에 대하여 마찬가지로 하면
$\phi_{\sigma} = f_{\sharp}\circ g_{\sharp}$ 역시 isomorphism 즉
1-1 이므로 $g_{\sharp}:\pi_1(Y,f(x_0) \rightarrow \pi_1(X, (g
\circ f)(x_0))$은 1-1이 된다. (여기서의 $f_{\sharp}$은
$f_{\sharp}:\pi_1(X, g \circ f(x_0)) \rightarrow \pi_1(Y, f(g
\circ f(x_0)))$이 되어 위 문단의 $f_{\sharp}$과는 다르다.) 따라서
$g_{\sharp}$ 은 isomorphism이 된다. 따라서 위 문단에서의
$f_{\sharp}:\pi_1(X, x_0) \rightarrow \pi_1(Y, f(x_0))$ 은
isomorphism 이 된다.

\end{proof}

\end{document}
