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\newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}}
\newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}}

\newcommand { \Ra } {\Rightarrow}
\newcommand { \nin} {\notin}


\newcommand{\tx}{(\widetilde{X}, \widetilde{x})}
\newcommand{\hx}{(\widetilde{X}_H, \bar{x})}
\newcommand{\txx}{(\widetilde{X}_1, \widetilde{x}_1)}
\newcommand{\txxx}{(\widetilde{X}_2, \widetilde{x}_2)}
\newcommand{\x}{(X,x)}

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\newcommand{\xt} {\widetilde{x}}
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{\theorembodyfont{\rm}

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\newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}}

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\xyoption{all}

\begin{document}
 \parindent=0cm
\section*{IV.2 Urysohn Lemma}


\begin{thm}
 \textbf{(Urysohn lemma) } normal space $X$ 상의  disjoint closed set   $C$와 $D$
 가 주어졌을때,  $f(C)=0$ and $f(D)=1$ 이 성립하는 연속함수 $f:X \rightarrow [0,1]$ 가
 존재한다.
 \end{thm}

\begin{proof}
먼저 $O_1 $:=$D^c \supset C$ 라 하면 $X$의 normality에 의해
$$ C \subset O_0 \subset \overline{O_0} \subset O_1 $$
 을 만족하는 open
set $O_0$가 존재한다. 여기서 다시한번 normality를 생각해보면 $
\overline{O_0} \subset O_1$ 사이에
$$ \overline{ O_0} \subset O_{1/2}
\subset \overline{O_{1/2}} \subset O_1 $$
  되도록 $O_{1/2}$를
끼워넣을수 있고, 비슷한  방법으로 $O_{1/4}$, $O_{3/4}$를 끼워넣어
$$ \overline{ O_0} \subset
O_{1/4} \subset \overline{O_{1/4}} \subset O_{1/2} \subset
\overline{O_{1/2}} \subset O_{3/4} \subset \overline{O_{3/4}}
\subset O_1 $$ 이 되도록 할 수 있다. 이와같은 작업을 반복하여
$$\{ O_r | r \in A \} , \;  A = \left\{
\, \frac{m}{2^n} \,  \Big |
 m=1,2, \cdots , 2^n -1 , \; \;
n=1,2,\cdots \right\}
$$
를 생성하면 항상 $ \overline O_t \subset O_s$ if $t<s$ 이 된다.
 이때 $A$ 가 $[0,1]$ 의 dense subset 이라는 것을 유의해야한다.
이제
$$
f:X \rightarrow [0,1] \;\; \textrm{by} \;\; f(x)= \left\{
\begin{array}{l}
sup \{s \, \big | \, x \notin O_s \} \\
\\
0 \,\,\, \textrm{if} \,\,\, x \in O_0
\end{array}
\right.
$$
를 정의하자. 이렇게 정의한 함수 $f$는 자명하게 $f(C)=0$, $f(D)=1$ 이
된다. 함수가 연속임을 증명할때 subbasis의 역상이 open임을 보이면
충분하므로 $f^{-1}[0,a)$와 $f^{-1}(a,1]$이 open in $X$ 임을 보이면
증명이 끝난다.
$$
f^{-1} [0,a) = \left\{ x \; \Big | \; 0 \leq f(x) < a \right\} =
\bigcup _{t<a} O_t:
$$

i) $(\subset)$: $  x \in f^{-1} [0,a)  \Rightarrow f(x)<a \Rightarrow f(x)<t<a
\,\, \textrm{for  some } \, t \in A  \Rightarrow  x \in
 O_t.$

 ( $\because x \notin O_t \Rightarrow t \in \{ s  | x \notin O_s \}
\Rightarrow t \leq sup \{s \,  | \, x \notin O_s \} = f(x) $ 모순.)

ii) $(\supset)$: $x \in O_t \Rightarrow t \notin \{ s  | x \notin O_s \}
\Rightarrow a > t \geq sup\{s|x\notin O_s \} = f(x).$

 위와같이 $f(x)<a \Longleftrightarrow x \in O_t $
for some $t<a$ 이 되어 $f^{-1} [0,a)$는 $O_t$ 들의 union 이 되고 open
이다.

$$
f^{-1} (a,1] = \left\{ x \; \Big | \; a < f(x) \leq 1  \right\}  =
\bigcup _{t>a} { \overline {O_t}\, }^c:
$$
i) $(\subset)$: $a<f(x) \Rightarrow a<t<t'<f(x)$ for some $t,t' \in A$ s.t $ x
\nin O_{t'} \Rightarrow x \notin \overline{O_t} \Rightarrow x \in {
\overline {O_t}\, }^c. $

ii) $(\supset)$: $x \in {\overline {O_t}\, }^c, t>a  \Ra x \notin \overline{O_t} \Ra x
\nin O_t \Ra f(x)=sup\{s|x \nin O_s \} \geq t > a. $

따라서 $f^{-1}[0,a)$ 와 마찬가지로 $f^{-1}(a,1]$ 또한 open 이된다.

\end{proof}


\begin{rem}
$X$ : normal $\Ra \exists \; bump \; funtion \ f:X \rightarrow [0,1]$ for any pair $ C^{closed}
\subset U^{open}$, i.e.,
$$
f = \left\{
 \begin{array}{l}
 1 \textrm{\,\,\;in\,\;\,} C\\
 0 \textrm{\,\,\;in\,\,\;}  U^c
\end{array}
\right.
$$
\end{rem}




\end{document}
